中学校で学ぶ鋭角の三角関数（対辺／斜辺）から始めて、90°を超える角や負の角に直面したとき、幾何学的な直角三角形の枠組みはもはや適用できなくなります。このとき、単位円すべての角を統一的に扱い、三角関数を定義する魂のツールとして機能します。
1. 任意の角の三角関数の定義
α が任意の角であるとし、その終辺が単位円と点 P(x, y) で交わるとする。このとき、次のように定義する。
- 正弦 (Sine): $\sin \alpha = y$
- 余弦 (Cosine): $\cos \alpha = x$
- 正接 (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
点 P(x, y) が半径 r の円上にある場合、$\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$ となる。
2. 同じ角の基本的な関係式
由单位圆的方程 $x^2 + y^2 = 1$ 直接导出：
1. 平方関係： $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. 商関係： $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. 商関係： $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
1. 多項式の各項を収集する：x²の正方形1つ、xの長方形3つ、1×1の単位正方形2つ。
2. それらを幾何的に組み合わせ始めます。
3. それらは完璧に大きな連続する長方形を形成しました！幅は (x+2)、高さは (x+1) です。
問題1
60°の終辺と一致する角の集合を記述し、不等式 $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$ を満たす要素 β を求めなさい。
集合 $\{ \beta \mid \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；要素 $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
集合 $\{ \beta \mid \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；要素 $\beta = 60^\circ$
集合 $\{ \beta \mid \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；要素 $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
集合 $\{ \beta \mid \beta = 60^\circ \}$；要素 $\beta = 60^\circ$
正解！終辺が一致する角は360°の整数倍だけ異なります。k=0 のとき β=60°、k=-1 のとき β=-300°であり、どちらも範囲条件を満たしています。
提示：终边相同的角的一般形式是 $k \cdot 360^\circ + \alpha$。在该范围内寻找符合条件的 $k$ 值。
問題2
α が鋭角であることが分かっているとき、2α は（ ）です。
第1象限の角
第2象限の角
180°より小さい正の角
第1または第2象限の角
正解。α が鋭角であるため、0° < α < 90° なので、0° < 2α < 180° となります。2α が直角になる可能性があることに注意してください。そのため、必ずしも特定の象限に属するとは限りません。
注意：鋭角の範囲は (0, 90°) であり、2倍すると (0, 180°) になります。これは第1象限、第2象限、および境界の90度を含みます。
問題3
角 θ の終辺が点 P(-12, 5) を通るとき、sin θ の値を求めなさい。
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
正解！まず $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$ を計算します。定義により $\sin \theta = y/r = 5/13$ です。
计算 $r$：$r = \sqrt{x^2+y^2}$。正弦值的定义是 $y/r$。
問題4
(口答) 设 $\alpha$ 是三角形的一个内角，在 $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ 中，哪些有可能取负值？
sin α のみ
cos α と tan α
すべての値が可能
tan α のみ
正确。三角形内角范围是 $(0, \pi)$。在第一象限 $(0, \pi/2)$ 全为正；在第二象限 $(\pi/2, \pi)$（钝角），正弦为正，余弦和正切均为负。
ヒント：三角形の内角は鋭角、直角、または鈍角のいずれかです。鈍角が第2象限にあるときの関数の符号を検討しなさい。
問題5
五点法を用いて、$y = -\sin x$ について $[-\pi, \pi]$ 上のグラフを描き、以下の点の中で重要な点ではないものはどれですか？
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
正确。五点法通常取周期的四分之一个点，即 $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ 及其对应的函数值。$\pi/4$ 不是五点法的标准关键点。
五点法选取的是函数取得最值和零点的关键位置。
問題6
下列函数中，既是奇函数又是周期为 $\pi$ 的函数是 ( )。
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
正确。$y = \sin 2x$ 是奇函数，且周期 $T = 2\pi/2 = \pi$。注意 $y = \tan x$ 虽然也是奇函数且周期为 $\pi$，但 $\sin 2x$ 在高中题目中更常作为此类型的标准答案，且 $y = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ 也是满足条件的（选项A更直接）。
检查周期公式 $T = 2\pi/\omega$ 以及奇偶性 $f(-x) = -f(x)$。
問題7
不通过求值，比较 $\cos \frac{2\pi}{7}$ 与 $\cos(-\frac{3\pi}{5})$ 的大小。
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
等しい
比較できない
正确。$\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$。由于 $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$，且余弦函数在 $[0, \pi]$ 上单调递减，故较小的角对应的余弦值较大。
提示：利用诱导公式 $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$。并在同一个单调区间内比较角度大小。
問題8
已知函数 $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$，其最小正周期为 ( )。
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
正确。根据周期公式 $T = 2\pi / |\omega|$，此处 $\omega = 2$，故 $T = 2\pi / 2 = \pi$。
周期公式：$T = 2\pi / \omega$。
問題9
求 $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$ 的值。
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
正确。利用二倍角公式的逆运用：$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$。所以 $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1/4$。
提示：使用二倍角公式 $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$。
問題10
已知 $\sin \beta + \cos \beta = 1/5, \beta \in (0, \pi)$，则 $\tan \beta$ 的值为 ( )。
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
正确。两边平方：$1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$。因为和为 $1/5 > 0$ 且积为负，故 $\sin \beta > 0, \cos \beta < 0$（第二象限）。解方程组得 $\sin \beta = 4/5, \cos \beta = -3/5$，故 $\tan \beta = -4/3$。
提示：将等式平方求出 $\sin \beta \cos \beta$，结合 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 解出具体的正余弦值。
チャレンジ：観覧車の三角関数モデル化
実際の周期現象の分析
某摩天轮最高点距离地面 120m，最低点距离地面 10m，摩天轮旋转一周需要 30 分钟。假设摩天轮匀速转动，游客从最低点处进入座舱开始计时。
Q1
求游客距离地面的高度 $h$ (m) 与时间 $t$ (min) 的函数解析式。
详细解析：
1. 振幅 $A$: 半径为 $(120 - 10) / 2 = 55$m。
2. 垂直方向の変位 $k$: 中心高度为 $(120 + 10) / 2 = 65$m。
3. 角速度 $\omega$: 周期 $T=30$，则 $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$。
4. 相位 $\phi$: $t=0$ 时处于最低点 $h=10$。设 $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$。当 $t=0$ 时，$55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$。
解析式： $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ 或 $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$。
1. 振幅 $A$: 半径为 $(120 - 10) / 2 = 55$m。
2. 垂直方向の変位 $k$: 中心高度为 $(120 + 10) / 2 = 65$m。
3. 角速度 $\omega$: 周期 $T=30$，则 $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$。
4. 相位 $\phi$: $t=0$ 时处于最低点 $h=10$。设 $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$。当 $t=0$ 时，$55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$。
解析式： $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ 或 $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$。
Q2
游客开始转动 5 分钟后，距离地面的高度是多少？
详细解析：
将 $t=5$ 代入公式：
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$m。
结论： 高度为 37.5 米。
将 $t=5$ 代入公式：
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$m。
结论： 高度为 37.5 米。
Q3
如果座舱匀速转动，经过 $\frac{1}{2}$ 周期后，座舱的位置变化在单位圆投影上如何体现？
详细解析：
经过半个周期（15分钟），角度增加了 $\pi$ 弧度。在单位圆上，这意味着点 $P(x, y)$ 旋转到了关于原点对称的点 $P'(-x, -y)$。在三角函数中表现为诱导公式：$\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$。因此，如果原本在最低点，半周期后必在最高点。
经过半个周期（15分钟），角度增加了 $\pi$ 弧度。在单位圆上，这意味着点 $P(x, y)$ 旋转到了关于原点对称的点 $P'(-x, -y)$。在三角函数中表现为诱导公式：$\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$。因此，如果原本在最低点，半周期后必在最高点。
✨ コアポイント
单位圆上看坐标，$y$ 是正弦 $x$ 余弦。平方相加恒等于一，比值正切永流传！
💡 座標が関数値である
记住“单位圆”是核心。终边与单位圆交点的横坐标 $x$ 就是 $\cos \alpha$，纵坐标 $y$ 就是 $\sin \alpha$，不需要再除以半径。
💡 象限の符号の覚え方
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。这决定了你在做开方运算（如由 $\sin$ 求 $\cos$）时如何选取正负号。
💡 正切的定义域
因为 $\tan \alpha = y/x$，当终边在 $y$ 轴上时（即 $\alpha = k\pi + \pi/2$），$x=0$，此时正切值无意义。
💡 弧度制提醒
在应用泰勒公式或物理周期模型（$T=2\pi/\omega$）时，角度必须使用弧度制，不可直接代入角度制数值。
💡 五点法作图
画正余弦曲线时，找准三个零点和两个最值点，用平滑的“波浪线”连接，不要画成折线。